因变量的结果为“是/否”二值变量时, 可使用逻辑回归 (Logistic regression), 或称 logit 回归,通过计算输出为“是”或“否”的概率与自变量之间的线性关系, 进行回归分析, 其模型如下： $$ \operatorname{logit}(p)=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)=\alpha+\sum_i \beta_i x_i=y^{\prime} $$

该模型中, $p$ 是输出为 “是” 的概率值, $1-p$ 是输出为 “否”的概率值, 根据线性方程和 自变量的数值可以得到 $\operatorname{logit}(p)$ 值, 进而得到 $p$ 值, $p=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-y^{\prime}}}$, 这是 sigmoid 函数。 使用广义线性模型 glm() 函数实现逻辑回归分析, 该函数可以拟合多种回归模型。

例 著名的电影 Titanic 展示了人类在灾难来临前的选择, 让妇女和儿童优先得到救助。本例中的数字来自 1912 年真实的 Titanic 灾难事件, 收集了11309 名乘客的年龄、 性别、舱位等级,以及是否生存的数据。数据来自 carData包中的 TitanicSurvival 数据集。

library(carData)
logit.TS <- glm(survived~sex+age+factor(passengerClass),family = binomial,data = TitanicSurvival)
summary(logit.TS)

结果

Call:
glm(formula = survived ~ sex + age + factor(passengerClass), 
    family = binomial, data = TitanicSurvival)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.6399  -0.6979  -0.4336   0.6688   2.3964  

Coefficients:
                           Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)                3.522074   0.326702  10.781  < 2e-16 ***
sexmale                   -2.497845   0.166037 -15.044  < 2e-16 ***
age                       -0.034393   0.006331  -5.433 5.56e-08 ***
factor(passengerClass)2nd -1.280570   0.225538  -5.678 1.36e-08 ***
factor(passengerClass)3rd -2.289661   0.225802 -10.140  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 1414.62  on 1045  degrees of freedom
Residual deviance:  982.45  on 1041  degrees of freedom
  (263 observations deleted due to missingness)
AIC: 992.45

Number of Fisher Scoring iterations: 4

在例 中, 广义线性模型是 formula $=$ survived $\sim$ sex $+$ age $+$ factor (passengerClass), 研究生存状态 (survived) 与性别 (sex)、年龄 (age) 和舱位等级 (passengerClass)之间的关系, survived 为二值变量“yes/no”, sex 也为二值变量“female/ male”, 年龄从 $0.1667$ 名到 80 岁, 等级分 3 等。等级作为分类变量创建哑变量。在广义线 性模型中 family 参数选择 “binomial”, 二值的输出结果就意味着遵循二项分布, 选择 logit回归的方法。 该数据中有 263 个样本存在缺失数据, 在分析时自动去除,结果表明生存与否与性别、 年龄和舱位等级都存在极显著的相关性,该数据分析结果也体现了人性伟大的一面。

摘自：